НЕПРЕРЫВНО-ЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ДЕТАЛЕЙ МАШИН
В.И. Левин
(Пенза, Пензенский технологический институт)

        Во многих случаях автоматизации проектирования, особенно, в машиностроении, объекты проектирования – геометрические, характеризуемые формой, поверхностью, объемом. Математическое моделирование таких объектов традиционными средствами геометрии обычно не обладает нужными для автоматизации проектирования качествами: компактность, минимальностью используемой информации и т.д. Значительного продвижения можно достичь, используя вместо геометрии непрерывную (бесконечную) логику (НЛ) [1], основные операции которой – дизъюнкция V и конъюнкция & вида

x V y = max (x, y)    (1)

а переменные х, у принимают любые действительные значения. Математическое моделирование геометрических фигур с помощью НЛ состоит в следующем.
        Пусть имеется фигура, заданная неформально (чертежом, словесным описанием) на плоскости или в пространстве. Требуется дать формальное описание этой фигуры (ее области или границы) при помощи уравнения. Это обратная задача аналитической геометрии (прямая, хорошо известная из аналитической геометрии – построение и анализ фигуры по задающему ее уравнению). Для решения задачи с помощью НЛ предложены: 1) прямой метод (перечисление всех случаев, когда произвольная точка принадлежит фигуре, и их сведение в единую запись уравнения с помощью операций (1); 2) метод преобразования неравенств, определяющих области фигуры в уравнение, с помощью операций (1); 3) метод пересечения, позволяющий получить НЛ-уравнение фигуры А, как пересечения фигур А(i), по НЛ-уравнениям фигур А(i). Приведем несколько результатов математического моделирования геометрических фигур.
        Уравнение полосы a<y<b и ее границ

(y-a)&(b-y)&0=0; (y-a)&(b-y)=0     (2)

        Уравнения прямоугольника a<y<b, c<x<b и его границ

[(x-c)&(b-x)&0]+[(y-a)&(b-y)&0]=0
(y-a)&(b-y)&(x-c)&(d-x)=0    (3)

        Уравнение треугольника со сторонами: 1) y=ax+b; 2) y=cx+d; 3) y=ex+f (стороны 1,2 – боковые, сторона 3 – нижняя, прилегающие к ней углы – острые)

[(y-ax-b)V0]+[(y-cx-d)V0]+[(ex+f-y)V0]=0    (4)

        Уравнение круга с центром (a, b) и радиусом r

[(x-a)^2+(y-b)^2-r^2]V0=0    (5)

        Уравнение прямоугольного параллелепипеда e<z<f, c<y<d, a<x<d

[(x-a)&(b-x)&0]+[(y-c)&(d-y)&0]+[(z-e)&(f-z)&0]=0     (6)

        Уравнения (2) - (6) и другие аналогичные уравнения можно рассматривать: 1) как математические модели геометрических фигур; 2) как математические модели машиностроительных деталей, имеющих форму указанных фигур.

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Левин В.И. Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики.– М.: Радио и связь, 1982.